Miftahul Jannah (B1A121050)
Kelas : C
Matakuliah Matematima Ekonimi 1
Assalamu'alaikum Bapak/Ibu dan teman-teman sekalin. Semoga dengan rangkuman materi ini dapat memudahkan untuk mengerti tentang materi matematika ekonomi I.
Jika dalam penulisan, pembahasan maupun pengutipan terdapat kesalahan/kekeliruan baik sengaja maupun tidak, maka saya dengan senang hati menerima saran dari bapak/ibu serta teman-teman sekalian yang bersifat membangun.
* Landasan Teori
1.Logika Matematika
Logika merupakan studi penalaran yaitu cara mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi,bukan berdasarkan pengalaman atau penalaran. Maka logika matematika fokus mempelajari hubungan pernyataan-pernyataan.
Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian logika matematis dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis.Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa :
Pernyataan
pernyataan merupakan suatu kalimat yang bernilai benar ataupun salah, namun tidak keduanya. Sedangkan, suatu kalimat dikatakan bukan pernyataan jika kita tidak dapat menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah atau mengandung pengertian relatif. Di dalam logika matematika terdapat dua jenis pernyataan, yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka. Pernyataan tertutup merupakan pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai kebenarannya sedangkan pernyataan terbuka yaitu pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai kebenarannya.
Contoh 1 :
- 8 + 2 = 10 (pernyataan tertutup yang bernilai benar)
- 5a + 10 = 40 (pernyataan terbuka, karena harus dibuktikan kebenarannya)
Ingkaran/Negasi (~)
Ingkaran didefinisikan sebagai sebuah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan semula. Berikut adalah tabel kebenaran ingkaran.
Jika suatu pertanyaan (p) bernilai benar (B), maka ingkaran (q) akan bernilai salah (S).
Contoh 2 :
Pernyataan 1
Bumi itu bulat
pernyataan 2
tidak benar bumi itu bulat
Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk merupakan pernyataan gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung. Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi , konjungsi , implikasi , dan biimplikasi.
Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘dan’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p dan q’ yang disebut konjungsi yang dilambangkan dengan “p∧q”. Berikut adalah tabel kebenaran konjungsi.
konjungsi akan bernilai benar jika dan hanya jika kedua pernyataan (p dan q) benar
Contoh :
1. konjungsi yang bernilai benar: Hasil dari 3 + 6 adalah 9 dan 9 merupakan bilangan ganjil.
- Pernyataan pertama yaitu Hasil dari 3 + 6 adalah 9 bernilai benar.
- Pernyataan kedua yaitu 9 merupakan bilangan ganjil bernilai benar.
Kedua pernyataan bernilai benar, sehingga nilai kebenaran untuk konjungsi akan bernilai benar
2. konjungsi yang bernilai salah. Bilangan prima terkecil adalah 1 dan 1 adalah bilangan ganjil.
- Pernyataan pertama yaitu Bilangan prima terkecil adalah 1 memiliki nilai kebenaran salah, karena bilangan prima terkecil adalah 2.
- Pernyataan kedua yaitu 1 adalah bilangan ganjil merupakan pernyataan benar.
Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘atau’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p atau q’ yang disebut disjungsi yang dilambangkan dengan “p ∨ q”. Berikut adalah tabel kebenaran disjungsi.
disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.
Contoh :
1. disjungsi dengan nilai kebenaran benar: Ir. H. Joko Widodo adalah presiden ke – 7 Indonesia atau Indonesia adalah nama sebuah kota.
- Pernyataan pertama yaitu Ir. H. Joko Widodo adalah presiden ke – 7 Indonesia bernilai benar.
- Pernyataan kedua yaitu Indonesia adalah nama sebuah kota bernilai salah, karena Indonesia adalah nama sebuah negara.
Jadi, disjungsi pernyataan majemuk Ir. H. Joko Widodo adalah presiden ke – 7 Indonesia atau Indonesia adalah nama sebuah kota bernilai benar.
2. disjungsi dengan nilai kebenaran salah: Indonesia merupakan negara dengan empat musim atau Indonesia terletak di benua Eropa.
- Nilai kebenaran dari pernyataan pertama adalah salah, karena Indonesia hanya memiliki dua musim.
- Nilai kebenaran dari pernyataan kedua juga salah, karena Indonesia terletak di benua Asia.
Sehingga, disjungsi pernyataan majemuk Indonesia merupakan negara dengan empat musim atau Indonesia terletak di benua Eropa adalah salah.
Implikasi bisa dipandang sebagai hubungan antara dua pernyataan di mana pernyataan kedua merupakan konsekuensi logis dari pernyataan pertama. Implikasi ditandai dengan notasi ‘⟹’. Misalkan p, q adalah pernyataan, implikasi berikut
p ⟹ q
Implikasi akan bernilai salah jika dan hanya jika sebab bernilai benar namun akibat bernilai salah.
Contoh :
1. implikasi dengan nilai kebenaran benar: Jika bilangan prima terkecil adalah 1 maka 1 adalah bilangan ganjil.
- Pernyataan pertama bernilai salah karena bilangan prima terkecil adalah 2.
- Pernyataan kedua yaitu 1 adalah bilangan ganjil memiliki nilai kebenaran benar.
Nilai kebenaran dari implikasi pernyataan majemuk jika salah maka benar adalah benar. Sehingga, nilai kebenaran dari Jika bilangan prima terkecil adalah 1 maka 1 adalah bilangan ganjil adalah benar.
2. implikasi dengan nilai kebenaran salah: Jika hasil penjumlahan dua bilangan genap adalah bilangan genap maka hasil dari 2 + 4 sama dengan 5.
- Nilai kebenaran dari pernyataan pertama yaitu hasil penjumlahan dua bilangan genap adalah bilangan genap maka adalah benar.
- Nilai kebenaran dari pernyataan kedua yaitu hasil dari 2 + 4 sama dengan 5 adalah salah.
Nilai kebenaran untuk implikasi jika benar maka salah adalah salah. Sehingga, nilai kebenaran untuk jika hasil penjumlahan dua bilangan genap adalah bilangan genap maka hasil dari 2 + 4 sama dengan 5 adalah salah.
Contoh:
2 + 3 x 6 = 20
Dari contoh diatas kita dapat menyimpulkan bahwasanya dalam logika matematika perkalian di dahulukan dari pada pembagian, mengapa ? karena sebuah perkalian bersifat ganda.
2. Fungsi dan Persamaan Linear
Fungsi merupakan hubungan antara variabel satu dengan variabel lainnya. Fungsi sendiri memiliki unsur-unsur pembentuk fungsi yaitu variabel,koefisien,dan konstan.
• Variabel
Veriabel memiliki dua jenis yaitu variabel bebas dan variabel terikat.
- Variabel bebas adalah variabel yang menjelaskan variabel lainnya.
- Variabel terikat adalah variabel yang diterangkan oleh variabel bebas.
Adapun variabel bebas dan variabel terikat namun di dalam statistiaka dan ekonometrika ada berbagai sebutan variabel, Seperti dalam sebuah persamaan antara lain : regresor dan regresan, variabel penjelas dan variabel yang di jelaskan, serta variabel eksogen dan variabel endogen.
• Koefisien
koefisien adalah sebuah angka atau bilangan yang berada tepat didepan variabel terkait dengan variabel yang bersangkutan.
• Konstan
konstan ialah sebuah fungsi yang bersifat tetap atau tidak berkaitan dengan variabel.
Persamaan Linear sendiri ialah fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabel. Fungsi polinom ialah fungsi yang mengandung banyak suku dalam variabel bebasnya.
Contoh :
y = 6 + 2x
penye:
Tabel yang di peroleh daru fungsi tersebut
setelah kita menentukan tebenya maka kita menentukan titik-titik tersebut agar membentuk kurva seperti berikut ini :
dengan cara mencari titik potong sumbuh x dan subuh y.
Langkah-langkah membuat grafik fungsi pada linear dengan cara matematis :
1. Tentukan titik potong pada sumbu x,y = 0, di peroleh koordinat A{x1,0}
2. Tentukan titik potong pada sumbuh x, y = 0 di peroleh koordinat B{0, y1}
3. Hubungan antara dua titik A dan.B sehingga terbentuk garis lurus.
3. Fungsi dan Persamaan Non-Linear
Fungsi non-linear bagi ekonomi ialah dapat memghubungkan variabel-variabel ekonomi yang bentuknya tidak linear.
Contoh pengambaran fungsi non-linear :
* Fungsi kuadrat parabolik
y = 8 - 4x + x²
Maka bentuk kurvanya ialah
Kurva non-linear mempunya sifat-sifat tertentu, penggambaran suatu fungsi non-linear daoat di lakukan dengan menggunakan lebih sedikit titik koordinat. sifat-sifat kurva non-linear yaitu :
• Pegal
Contoh
y = 16 -8x + x²
penggal pada sumbuh x: y = 0 - x = 4
penggal pada sumbuh y: x = 0 - y = 16
• Simetri
* pada gambar (a), titik A dan B simetrix pada sumbuh x, karena sumbuh ini berjarak sama terhadao A dan B serta tegak lurus terhadap sigmen garis AB. A dan B simetrik pada C karena yang terakhir ini terletak persis di tengah segmen AB.
* pada gambar (b),memperlihatkan titik D dan E simetrik pada sumbuh y serta terhadap titik F.
* pada gambar (c), menunjukkan simetri G dan H terhadap titik pangkal O (0,0)
• Perpanjangan
contoh:
persamaan x² - y² - 25 = 0
penye untuk x: x = √25 + y²
Berapapun nilai y, bilangan di bawa akar akan selalu positif sehungga xakan selalu berupa bilangan nyata. beraryi perpanjangan kurva searah sumbuh y tidak terbatas.
• Asimtot
• Fatorisasi ialah menguraikan ruasa utama fungsi tersebut menjadi bentuk perkalian ruas-ruas utama dari dua fungsi yang lebih kecil.
4. Diferensial
Diferensial ialah tingkat perubahan suatu fungsi adanya perubahan variabel bebas dari fungsi tersebut.
Rumus :
Contoh :
f(x) = x² + 4x - 3 nilai f(5).
penye:
f(x) = x² +4x - 3
f(5) = 2x + 4x
f = 2(5) + 4
=14
maka nilai dari diferensial ialah 14..
5. Integral
Integral adalah sebuah konsep penjumlahan yang berkesinambung dalam sebuah konsep matematika.Integral dalam bidang bisnis dan ekonomi sering di terapkan dalam kasus-kasus perkembangan dan pertumbuhan.
contoh soal :
Jawab :
Dalam sebuah penerapan ekonomi pada pendekatan integral taktentu dapat di terapkan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marjinalnya diketahui.maka dapat di cari dari fungsi turunanya atau fungsi totalnya.
• Fungsi Biaya
Biaya total : C = f(Q)
Biaya marjinal : MC = C' = dC/dQ = f'(Q)
Biaya total tak lain adalah integral dari biaya marjinal
Kasus 64
Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3 Q² - 6 Q + 4. Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-rata.
Biaya total : C = j MC dQ
= j (3Q² - 6Q + 4 ) dQ
= Q³ - 3Q² + 4Q + k
Biaya rata-rata : AC = C/Q = Q² - 3 Q + 4 + k/Q
Konstanta k tak lain adalah biaya tetao. Jika diketahui biaya tetap tersebut sebesar 4, maka :
C = Q³ - 3Q² + 4Q - 4
AC = Q² - 3Q + 4 + 4/Q
• Fungsi Penerimaan
Penerimaan total : R = f (Q)
penerimaan marjinal : MR = R' = dR/dQ =f(Q)
Penerimaan total tak lain adalah integral dari penerimaan marjinal
pasal 65
Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suaty perusahaan jika penerimaan marjinak MR = 16 - 4 Q.
Penerimaan total : R = f MR dQ
= f (16 - 4Q) dQ
= 16 Q - 2 Q²
Penerimaan rata-rata : AR = R/Q = 16 -2 Q
Dalam persamaan penerimaan totak konstanta k = 0 sebab penerimaan tidak akab ada jika ada barang yang di hasilkan atau terjual
• Fungsi Utlitas
• Fungsi Produksi
• Fungsi Konsumsi dan Fungsi tabungan
6. Deret Hitung dan Ukur + Aplikasi Ekonomi
Deret adalah rangkaian bilangan yang di sususn secara teratur dan memenuhi kaidah tertentu.Bilangan dan unsur yang membentuk sebuah deret di namakan suku.Deret di bagi menjadi dua bagian yaitu :
• Deret Hitung
• Deret Ukur
- Deret Hitung adalah sebuah deret yang perubahan sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap bilangan tertentu.Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini di namakan pembeda.
Rumus :
Sn = a + ( n - 1 )b
keterangan : a = Suku pertama atau S1
b = Pembeda
n = Indeks
Contoh :
Hitunglah Deret hitung suju ke 15
2,5,8,11,14,17
penye: dik : a = 2
b = 3
n = 15
dit : S15 = ........
Jawab :
Sn = a + (n - 1)b
= 2 + (15 - 1)3
= 2 + 14(3)
= 2 + 42
= 44
maka nilai suku ke 15 adalah (44)
- Deret Ukur adalah perubahan suku yang berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu.Bilangan yang membadekan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan sebagai pengganda.
Rumus :
Sn = ap^n-1
Keterangan : a = suku pertama
p = pengganda
n = indeks suku
Contoh :
Hitunglah deret ukur suku ke 15
2,4,8,16,32,64
Penye : dik: a = 2
p = 2
n = 15
dit: S15 = .........
Jawab :
Sn = ap^n-1
= 2(2)^15-1
= 2(2)^14
= 2(16.384)
= 32.768
Jadi nila pada ukur pada siku ke 15 adalah 32.768
Penerapan ekonomi pada deret dapat di terapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan.Dalam.perkembangan dan pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret baik deret hitung maupun deret ukur.Maka terori deret yang bersangkutan dapat di terapkan untuk menganalisis moda perkembangan usaha, modal bunga majemuk, serta modal pertumbuhan penduduk.
6. Matriks
Matriks adalah sebuah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang,serta termuat di antara sepasang tanda kurung.Matriks dalam dunia ekonomi dapat merumuskan berbagai masalah termasuk masalah-masalah bisnis dan ekonomi secara singkat dan jelas.
Matriks memiliki enam ciri khas yaitu :
-Matriks satuan
-matriks nol
-matriks ubahan
-matriks simetrik miring
-matriks balikan
-matriks saklar,original,sugular dan Nonsingular
Contoh :
penye :
